摘 要： 在数学分析中，关于函数一致连续问题的理解与应用是理解数学中其他知识的基础，但目前各种教材对这类问题提出和总结得不够，广大数学爱好者很难对其有全面清晰的认识.为了加深对一致连续问题的认识，本文从一致连续的概念出发，总结了一致连续的条件、运算性质。
关键词： 函数 一致连续 概念 条件 运算性质
1.一致连续及其相关概念
定义1 设f（x）在区间I上有定义，称函数f（x）在区间I上连续是指，x∈I，ε＞0，δ＞0，当x∈I且x-x＜δ时，有f（x）-f（x）＜ε.
定义2 设f（x）在区间I上有定义，称函数f（x）在区间I上一致连续是指，对ε＞0，δ＞0（其中δ与ε对应而与x，y无关），使得对区间I上任意两点x，y，只要x-y＜δ，就有f（x）-f（y）＜ε.
定义3 设f（x）在区间I有定义，称函数f（x）在区间I上不一致连续是指，至少一个ε＞0，对δ＞0，都可以找到x′，x″∈I，满足|x′-x″|＜δ，但|f（x′）-f（x″）|≥ε.
评注1：比较函数在区间上的连续性与一致连续性的定义知，连续性的δ不仅与ε有关，而且与x有关，即对于不同的x，一般说来δ是不同的.这表明只要函数在区间上的每一点处都连续，函数就在这一区间上连续.而一致连续的δ仅与ε有关，与x无关，即对于不同的x，δ是相同的，这表明函数在区间上的一致连续性，不仅要求函数在这一区间上的每一点处都连续，而且要求函数在这一区间上的连续是处处一致的.
在区间I上一致连续的函数在该区间I上一定是连续的，反之，在I上连续的函数在该I上不一定是一致连续的.
评注2：一致连续的实质，就是当这个区间的任意两个彼此充分靠近的点上的值之差（就绝对值来说）可以任意小.
用定义证明f（x）在I上一致连续，通常的方法是设法证明f（x）在I上满足Lipschitz条件|f（x′）-f（x″）|≤L|x′-x″|，x′，x″∈I，其中L为某一常数，此条件必成立.特别地，若（x）在I上是有界函数，则f（x）在I上Lipschitz条件成立.
2.一致连续的条件及有关结论
2.1一致连续的条件
定理1（G•康托定理）若函数f（x）在区间［a，b］上连续，则它在这个区间上也是一致连续的.
证明要证的是对于任意给定了的ε＞0，可以分区间［a，b］成有限多个小段，使得f（x）在每一小段上任意两点的函数值之差都小于ε，以下用反证法证之，若上述事实不成立，则至少对于某一个x＞0而言，区间［a，b］不能按上述要求分成有限多个小段.将［a，b］二等分为［a，c］、［c，b］，则二者之中至少有一个不能按上述要求分为有限多个小段，把它记为［a，b］.再将［a，b］二等分为［a，b］、［c，b］，依同样的方法取定其一，记为［a，b］.如此继续下去，就得到一个闭区间套［a，b］，n=1，2，…，由区间套定理知，唯一的点c属于所有这些闭区间.因为c∈［a，b］，所以f（x）在点x=c连续，于是可找到δ＞0，使|x-c|＜δ（x∈［a，b］）时，|f（x）-f（c）|＜ε/2.
注意到c==我们可取充分大的k，使|a-c|＜δ，|b-c|＜δ，从而对于［a，b］上任意点x，都有|x-c|＜δ，因此，对于［a，b］上的任意两点x，x都有|f（x）-f（x）|≤|f（x）-f（c）+f（c）-f（x）|＜+=ε.
这表明［a，b］能按要求那样分为有限多个小段（其实在整个［a，b］上任意两点的函数值之差已小于ε了），这是和区间［a，b］的定义矛盾的，这个矛盾表明我们在开始时所作的反证假设是不正确的，从而定理的结论正确.
评注3：定理1对开区间不成立.例如函数f（x）=在（0，1）的每一个点都连续，但在该区间并不一致连续.事实上，对于任意小的δ＞0，令x=δ，x=2δ，则|x-x|=δ，而|f（x）-f（x）|=-=，这时|x-x|可以任意小，但|f（x）-f（x）|可以任意大.函数f（x）=tanx在（-，）也有类似的情形.以上两例讨论的都是无界函数，而sin在（0，1）内的每一点都连续，且显然在这个区间内有界，然而它也没有一致连续性，因为有任意小（因而也就彼此任意接近）的数x与x存在，使sin=1，sin=-1.
定理2 f（x）在区间I上一致连续的充要条件是在区间I上满足（x-y）=0的任意两数列{x}、{y}，必有［f（x）-f（y）］=0.
证明：必要性.若f（x）在I上一致连续，由一致连续性的定义，?坌ε＞0，?埚δ＞0，当|x-y|＜δ时，|f（x）-f（y）|＜ε，即任两数列{x}、{y}，当n→∞时，|x-y|→0，则必有|f（x）-f（y）|→0.
充分性.用反证法，若两数列{x}、{y}，当n→∞时，|x-y|→0，|f（x）-f（y）|→0而f（x）在I上不一致连续，那么一定?埚ε＞0，对?坌δ＞0，存在x，y，当|x-y|＜δ时，|f（x）-f（y）|≥ε0，取δ→0，我们得到两数列{x}、{y}，当n→∞时，x-y→0，但|f（x）-f（y）|≥ε，这与假设［f（x）-f（y）］=0矛盾.
评注4：定理2所述的必要性常被用来判定一个函数是不是一致连续的.
例如，函数f（x）=sin，在区间（0，1）上是连续的且有界，但在此区间上并非一致连续.事实上，当x≠0时，由基本初等函数在其有定义的区间上连续知，f（x）是连续的，同时，由于|f（x）|≤1，因而它也是有界的.现考虑（0，1）上的两串数列x=，x′=，则当0＜ε＜1时，不论δ＞0取得多么小，只要n充分大，总可以使|x-x′|=＜δ，但是|f（x）-f（x′）|=1＞ε，因而f（x）在（0，1）上并非一致连续.
定理3 设f（x）在有限区间I上有定义，那么f（x）在I上一致连续的充要条件是对任意柯西（Cauchy）列{x}I，{f（x）}R′也是Cauchy列.
证明：必要性.因f（x）一致连续，即对ε＞0，δ＞0，对x′，x″∈I，只要|x′-x″|＜δ，就有|f（x′）-f（x″）|＜ε.设{x}I为Cauchy列，于是对上面的δ＞0，必N＞0，使当n，m＞N时，有|f（x）-f（x）|＜ε，即{f（x）}是Cauchy列.
充分性.若不然，必ε＞0，x′，x″∈I，虽然x′-x″＜，但是|f（x′）-f（x″）|≥ε，由{x′}有界知，存在收剑子列{x′}，从而{x″}也收剑于同一点，显然x″，x″，x″，…，是Cauchy列，但是f（x″），f（x″），f（x″），…，不是Cauchy列，此为矛盾，故f（x）在I上一致连续.
定理4 设f（x）在有限区间（a，b）上连续，则f（x）在（a，b）上一致连续的充要条件是f（a+0）、f（b-0）存在且有限.
证明：充分性.令F（x）=f（a+0）（x=a），f（x）（x∈（a，b）），f（b-0）（x=b），则F（x）∈C［a，b］，因此F（x）在［a，b］上一致连续，从而f（x）在（a，b）上一致连续.
必要性.已知f（x）在（a，b）上一致连续，所以对于ε＞0，δ＞0，当x′，x″∈（a，b）且|x′-x″|＜δ时，|f（x′）-f（x″）|＜ε成立.对端点a，当x′，x″满足0＜x′-a＜，0＜x″-a＜时，就有|x′-x″|≤|x′-a|+|x″-a|＜δ，于是|f（x′）-f（x″）|＜ε.由Cauchy收敛准则，f（a+0）存在且有限，同理可证f（b-0）存在且有限.
评注5：（1）当（a，b）为无穷区间，本例中条件是f（x）在（a，b）上一致连续条件充分但不必要.例如f（x）=x，Φ（x）=sinx，x∈（-∞，+∞）及g（x）=，x∈（0，+∞）均为所给区间上的一致连续函数，但f（-∞）=-∞，f（+∞）=g（+∞）=+∞，Φ（+∞）和Φ（-∞）不存在.
（2）定理提供了一个判断函数一致连续性简单而有效的方法.
例如，研究下列函数在所示区间上的一致连续性.
（i）f（x）=（0＜x＜π）;（ii）f（x）=ecos（0＜x＜1）.
解：（i）因为=1，=0，所以f（x）在（0，π）内一致连续.（ii）因为cosx不存在，所以f（x）在（0，1）内不一致连续.
（3）由定理知，若f（x）∈C（a，b），则f（x）可连续延拓到［a，b］上的充要条件是f（x）在（a，b）上一致连续.
定理5 f（x）在区间I上一致连续的充要条件是，对ε＞0及x，y∈I，总正数N，使|f（x）-f（y）|＞N|x-y|（1）.恒有|f（x）-f（y）|＜ε（2）.
证明：因为f（x）在I上一致连续的定义等价于：对?坌ε＞0，?埚δ＞0，使得对于?坌x，y∈I，如果|f（x）-f（y）|≥ε（3），就有|x-y|≥δ.而题设条件为对ε＞0，N＞0，对x，y∈I，当不等式（3）成立时，|f（x）-f（y）|≤N|x-y|（4）
充分性.若题设中条件成立，则由（4）式得|x-y|≥|f（x）-f（y）|，再由（3）式得|x-y|≥，所以对给定的ε＞0，只要取δ=，当x，y∈I，且满足（3）时，就有|x-y|≥δ成立.
必要性.若f（x）在I上一致连续，则对任给的ε＞0，存在δ＞0，使当x，y∈I，且满足不等式（3）时，就有不等式|x-y|≥δ成立，故整数k，使得kδ≤|x-y|≤（k+1）δ.（5）不妨设x＜y，将［x，y］分成k+1等分，记x-1（i=1，…，k+1）为其分点，由（5）式知|x-x|=||＜δ，故|f（x）-f（x）|＜ε，i=1，2，…，k+1，||≤|f（x）-f（x）|/kδ＜＜令N=［］+1，则当I中的点x，y使（3）式成立时，必有（4）式成立，从而（1）式成立时，有（2）式成立.
评注6：本定理的证明是灵活运用一致连续定义的典范，它在理论研究上具有一定的意义.
2.2一致连续函数的运算性质
一致连续函数有一系列的运算性质，归结如下几个命题.
命题1：设Φ（x）与ψ（x）在区间I上一致连续，则αΦ（x）+βψ（x）在I上一致连续（α，β为任意常数）.
命题2：设Φ（x），ψ（x）在有限区间I上一致连续，那么ψ（x）ψ（x）在I上也一致连续.
命题3：设Φ（x），ψ（x）在无限区间I上一致连续且有界，那么Φ（x）ψ（x）在I上也一致连续.
其中“有界”的条件不可少，例如f（x）=x在（-∞，+∞）上一致连续，但无界，而f（x）•f（x）=x在（-∞，+∞）上不一致连续.
命题4设Φ（x）在区间I上一致连续且infF（x）＞0，那么在I上也一致连续.
最后应指出，一致连续函数的反函数，一般说来，不再一致连续，例如f（x）=在（0，+∞）上一致连续而它的反函数f（x）=x在（0，+∞）内不一致连续，但可以证明在有限区间上，结论为真.
参考文献：
［1］斐礼文.数学分析中的典型问题与方法［M］.北京：高等教育出版社，1993：93-103.
［2］王向东.数学分析中的概念与方法［M］.上海：科学技术文献出版社，1989：278-299.
［3］周家云，刘一鸣.数学分析的方法［M］.济南：山东教育出版社，1991：48-62.