摘 要:复规范形理论作为研究非线性常微分方程的强有力工具之一,在研究非线性动力系统的稳定性和分岔方面发挥了重要作用。本文介绍由Nayfeh提出的复规范形及由张琪昌提出的改进的复规范形方法,并介绍其在非线性振动中的应用情况。
关键词:复规范形 改进 方法介绍 研究现状
中图分类号:X83文献标识码:A文章编号:1674-098X(2011)04(b)-0001-01
复规范形理论是由Nayfeh[1]提出的,其核心内容是以复数形式表示非线性动力系统方程,并依据复数运算的自身特性计算系统的规范形,其好处是在规范形求解过程中不必引入类似实数形式矩阵表示法的矩阵运算,所以求解过程比较简单也易于实现计算机编程。
1 复规范形法的基本形式
考虑如下的单自由度系统:
(1)
式中可展开成和的幂级数的形式。令,,则式(1)可写成:
(2)
为获取系统规范形引入近恒同变换:
(3)
将(3)代入(2)中可得:
(4)
根据(4)中非线性项的形式选择适当的近恒同变换,,这是一般情况下实数形式规范形理论的题设形式。同样的我们可以将上述过程表示为复数形式。引入如下的复变量:
, (5)
分别求解式(5)中的复变量,
,(6)
式(6)中的对时间求导,同时考虑式(1)有:
(7)
将式(5)代入(7),并化简得:
(8)
2 改进后的复规范形方法
Nayfeh[1]提出的规范形理论在研究弱非线性振动系统中的应用非常适用,但对于强非线性振动却并不适用。因为对于弱非线性振动而言,振动过程中的频率受非线性项的影响很小,可以忽略不计,振动过程中的频率基本保持为基频不变,所以Nayfeh在文献[1]中就是以系统基频作为振动过程中的频率。但对于强非线性系统,非线性项对于振动频率的影响是不可忽略的,因此张琪昌[2]提出了一种基于复规范形理论的待定瞬时固有频率法,在系统的规范形中引入新的瞬时频率取代原有系统中的。
考虑如下的单自由度系统:
改进后的复规范形方法与原方法的区别就在于式(5)写成如下形式:,(9)
式中即为待定瞬时固有频率,将式(9)代入式(8)中可得:
(10)
为了简化式(10),引入近恒同的非线性变换:
(11)
其中:
(12)
(13)将式(13)代入式(10)可得:
(14)
将式(11)代入式(9)的第一式得:
(15)
为了消除中的永年项,,方程(14)应满足如下条件:
(16)
的表达式中有三个待定的常数,根据规范形理论,在方程(14)中不含有二阶齐次多项式,由此可计算出这三个待定常数,从而将方程(14)中的二阶齐次多项式化简。g的表达式中有六个待定的常数,化简了方程(14)中的二阶齐次多项式后,式(14)由6个单项式组成,其中2项为共振项,为了得到最简形式,令式(14)中4个非共振项等于零,可得到4个方程,再加上消除永年项的条件式(16),可确定除g的6个待定系数,从而得到的最简形式。
3 改进后的复规范形法在非线性振动中的应用和研究现状
张琪昌在文献[1]中应用改进后的待定瞬时固有频率法求得了一个自由度强非线性振动系统的渐进解,并验证了其计算精度。得出结论:对于强非线性振动系统,改进后的复规范形方法比Nayfeh的方法计算精度更高。郝淑英将这种方法推广到两个自由度的强非线性系统。本人在前面的工作基础上,将改进后的复规范形法引入到多自由度强非线性振动系统中,进一步验证了该方法在多自由度强非线性振动系统中的适用性。至此由张琪昌提出的改进复规范形方法在强非线性振动系统中的适用性得到了全面的验证,为多自由度强非线性振动系统的求解提供了一个精度较高的计算方法。可进一步将该方法引入针对强非线性振动系统的力学特性分析和分岔、混沌的研究。
参考文献
[1]张琪昌,郝淑英,陈予恕.用范式理论研究强非线性振动问题,振动工程学报[J].2000.
[2]张琪昌,王炜,郝淑英.研究强非线性振动问题的最简规范形方法[J].应用力学学报,2008.
[3]丁玉梅,张琪昌.余维2退化Hopf分岔系统的最简规范形[J].振动工程学报,2008.
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